スキップしてメイン コンテンツに移動

ヒープ構造

Introduction

今日はヒープ構造について書きます。ヒープ構造はデータ構造の一種です。ちょうど大学の自主ゼミグループのセミナー合宿に参加させてもらい、そこでグラフ理論を勉強したので、メモをしておこうと思います。

 slide はこんなのを使いました。


Overview

  • データ構造
  • 二分木
  • ヒープ
  • 実装
  • ヒープソート

データ構造
ヒープ構造の前に、データ構造について、説明します。データ構造とは、データを保存する手法であります。データ構造は、そのデータについてどのような操作を行いたいかによって、最適なものを選ぶことになります。

ヒープ構造はプライオリティキューと呼ばれれるデータ構造を表す方法です。プライオリティキューで行いたい操作は以下の二つです。
  1. データの追加
  2. 最小値の抽出

二分木
まず、グラフを定義します。E と V は集合とし、 $e \in E$、つまりEの要素をedge(枝)と呼びます。また、$v \in V$、つまりVの要素をnodeと呼びます。
g:E->V×V をEからV × Vへの写像とします。この時、.(E,V,g)をグラフを言います。

例えば、次のようなものがあります。


丸いのがそれぞれのnodeで、矢印がedgeになります。
各edgeに対して、始点v1と始点v2を対応させるのが写像gの役目です。


根付き木とは次のような木のことです。



これはnode1からnodeが二つずつどんどん派生していっています。

特に、次のような木を二分木といいます。



特徴は、ノードが上からなおかつ左から敷き詰められています。一番上のノードを根といいます。また、例えば2を基準にすると、1は2の親、4,5は2の子、3は2の兄弟、8,9,10,11,12は葉と呼ばれます。

ヒープ
ヒープ構造はプライオリティキューを二分木で表現したものです。プライオリティキューでやりたいことは次のことでした。
  1. データの追加
  2. 最小値の抽出
.
では、どのようにこの二つの操作を実現するのでしょうか。
初めにデータの追加について説明します。
1. 二分木の最後に追加するノードをくっつける
2.親と比べて、自分のほうが若かったら親と入れ替わる。

3. 2を繰り返して、自分より若い親がいないようにする

こうすることでヒープ構造を壊さずに値を加えることができます。

次に、データの抽出です。
1. Aを取り出す。
2. 根の部分に最後尾のノードをコピーする
 3. 最後尾のノードを削除する

4. 自分の子供のうち、小さいほうと自分を比べて子供のほうが若ければいれかえる。
5.4を自分より年寄りな子がなくなるまで繰り返す。

こうすることでヒープ構造を壊さずに最小値を抽出できる。
大事なのはこの操作の計算量はO(logN)であることです。

実装
ヒープ構造を壊さずにを実装するとき、配列かリストを使います。
子供のノードはの番号は2×親ノード番号+ 1、 2 ×親ノード番号+2になります。 2×親ノード番号+ 1は左側の子供です。 2 ×親ノード番号+2は右側の子供です。

このように、Aの子供はB,C、Bの子供はD,E...という風になっています。


heap構造の実装はこちらのgithubに公開しています。

このgifはヒープ構造を表現した配列に10この値を加えていったあと、10回最小値を取り出したときの配列の値です。

ヒープソート
ヒープソートとは、ヒープ構造から値を取り出すときO(lonN)で最小値を取り出せることを利用したソート方法です。ランダムな配列を一度ヒープ構造に突っ込んで、そのあと、最小値を取り出せば、小さい順になって出てくるということです。

このgifは、最初に移る配列を一旦、heap構造の配列に加えて、取り出していった時の配列の値です。


Reference
https://www.amazon.co.jp/%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%81%E3%83%A3%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF-%E7%AC%AC2%E7%89%88-%EF%BD%9E%E5%95%8F%E9%A1%8C%E8%A7%A3%E6%B1%BA%E3%81%AE%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%83%A0%E6%B4%BB%E7%94%A8%E5%8A%9B%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%92%E9%8D%9B%E3%81%88%E3%82%8B%EF%BD%9E-%E7%A7%8B%E8%91%89%E6%8B%93%E5%93%89/dp/4839941068



Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

カーネルK-means 理論編

Introduction English ver 今日は、カーネルK-meansの理論について書きます。カーネルK-meansは通常のK-meansの欠点を補うことができます。通常のK-meansの欠点とカーネルK-meansの強みも説明します。もし、まだ御覧になられていなければ、通常の K-means 理論編 の記事を見ていただけるとよいのではないかと思います。 カーネルK-meansの実装編 も併せてご覧ください。 概要 K-meansの弱点 カーネルトリック カーネルK-means アルゴリズム K-meansの弱点 例えば、次のようなデータを用意します。 このデータはK-meansによってうまく分類することはできません。なぜなら通常のK-meansでは、データとプロトタイプのユークリッド距離に依存しているからです。そのため、このような円状に分布しているデータはうまく分類することができません。 プロトタイプとはそれぞれのクラスにあり、そのクラスを代表するようなもののことです。K-meansでは各クラスの平均ベクトルとなります。それゆえ、以下のような分類になってしまいます。 このようなデータではK-meansはうまくいきません。 K-meansで分類できるデータセットは次のように各クラスで固まっている必要があります。 カーネルK-meansはK-meansの弱点を補います。 カーネルトリック 初めに、カーネルトリックを説明します。 線形分離できないようなデータ$X$を例えば次のように線形分離できるように$\phi(x)$に送る写像$\phi$を考えます。 カーネルは次のように定義されます。 $$K(x,y) = \phi(x)^T \phi(y)$$ $\phi$を具体的に計算することは難しいですが、$K(x,y)$を計算することなら簡単です。 この手法をカーネルトリックと呼ばれます。 カーネルK means K-meansの目的関数を復習しておきます。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 プロトタイプは$\mu_i ~\forall k \in K$としま
コメントを投稿
続きを読む

大学院試験　-外部への道しるべ-

始めに この度、 京都大学大学院情報学研究科システム科学専攻 に合格することができました！！！ 僕は現在、立命館大学という関西の私立大学に通っているので、外部受験をしたことになります。 さらに、学部は数学専攻で、大学院からは情報学(の中でも機械学習)専攻になるので、専門も変えることになります。 この記事では、外部の大学院、もしくは専攻替えを考えている人向けに書こうと思っているので、目次で気になった項目があれば、ぜひ、読んでいってくださいませ。( *´艸｀) ちなみに、予測点数は線形微積6~7割、専門科目満点、英語かなり低いので内緒です。（笑） 得点開示を要求するので、得点がわかったら、また追記します。 目次 外部受験を目指すまで、目指したきっかけ 外部受検の大変さ 専攻替えの大変さ 合格するために 英語が苦手な人へ 数学科の学部から情報学(機械学習)の大学院を目指す人へ 応援 外部受検を目指すまで、目指したきっかけ ここでは、自分の大学生活がどんなだったかを書いてるだけなので、興味のない人は飛ばしましょう。（笑） 僕が学部二回生頃に、当時数理科には機械学習の研究をされている先生が一人だけ所属されていました。その先生に、直接弟子入りさせていただき、僕の機械学習への道は始まりました。。。(メインは遺伝統計学の研究でした。) 弟子入りした直後は、タイピングもなめくじのように遅かったですし、gitもpullする前にpushしたこともありました。。。 しかし、その先生は、目的に最先端で届く道のりを用意してくださいました。 プログラミングを初めて一か月ほどで、t-SNEの実装をしたり(遺伝統計学の研究で必要だった)、四か月ほどで、カーネルc-SVMの実装をしたり(やってみなとゆわれて（笑）)することができました。その後も、学部二回生、三回生ながら、論文を読んで実装してきました。 学部二回生冬には、遺伝統計学の研究を 株式会社パーソルキャリア さん主催のハッチングフェスというデータサイエンティストのためのイベントで、発表しました。 このイベントでは、企業の方もたくさん来られて、知り合えるチャンスがかなりあります！！ (名刺を作っておくと、「えっ、学生なのに名刺持ってるの？！」ってなるので、覚えてもらえます。
コメントを投稿
続きを読む

K-means 理論編

Introduction English ver 今日はK-meansアルゴリズムの理論について書きます。 K-meansアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。 K-meansの実装の記事は カーネルK-meansの実装 を御覧ください。 この記事はカーネルK-menasの実装についての記事ですが、通常のK-meansの実装も行っています。カーネルK-meansについてはまた、今度別の記事で紹介したいと思います。 概要 1 of K 符号化法 プロトタイプ 歪み尺度 最適化 1 of K 符号化法 K-meansはK個のクラスについて分類することを考えます。 K-meansでは $x_n$がkのクラスに属していることを次のように表します。 ベクトル$r_n:1 \times K$ を $$r_n := (0,0,..,1,..,0)$$ このベクトルはk番目にのみ1を持ち、それ以外は0を要素に持つようなベクトルです。 こののような表現の仕方を1 of K符号化法と呼びます。 プロトタイプ K-meansではプロトタイプと呼ばれるベクトルを選びます。このベクトルは各クラスに一つあり、そのクラスの代表のようなベクトルです。 K-means ではそのようなベクトルは各クラスの平均ベクトルとなります。これは目的関数から自然と導かれます。 歪み尺度 プロトタイプベクトルを $\mu_i ~\forall k \in K$とします。 この時、k-meansの目的関数は次のようになります。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 $r_{nk}$ は$r_n$のk番目の要素です。 この目的関数について少し説明をします。$r_{n}$は$x_n$が属しているクラスのラベルの場所だけ1で他は０であるので、 $$J = \sum_{n=1}^{N} ||x_n - \mu_{x_n}||$$ ここで、$\mu_{k_n}$は$x_n$が属しているクラスのプロトタイプです。 よって、 $$J = ||x_1 - \mu_{x_1}|| + ||x_2 -\mu_{x_2}|| +
コメントを投稿
続きを読む