journey of Froakie (ケロマツの旅路)

Introduction English ver 今日は、次の定理を証明します。 二次元空間の直線は次のように表せる \[\{x|<x,v> = 0\}\] ただし、vは直線に直行し、ゼロでないベクトルとします。 証明 \[\forall k \in \{x|<x,v> = 0\},\] \[<k,v> = 0\] k と vは二次元空間のベクトルなので、それぞれのベクトルは次のように表せます。 \[k = (k_1,k_2)\] \[v = (v_1,v_2)\] よって \(<k,v>=k_1v_1 + k_2v_2=0\) 方程式を\(k_2\)について解くと \[k_2 = -\frac{v_1}{v_2} k_1\] これはまさしく、傾き\(-\frac{v_1}{v_2}\)の直線です。 Q.E.D

Introduction 日本語 ver Today, I prove this theorem. Plane in two dimention is expressed following. \[\{x|<x,v> = 0\}\] however, v is orthogonal vector for plane and not zero vector. Proof \[\forall k \in \{x|<x,v> = 0\},\] k is fulfill this form. \[<k,v> = 0\] Now, because k and v in two dimentinal space, each vector express following. \[k = (k_1,k_2)\] \[v = (v_1,v_2)\] Thus, \(<k,v>=k_1v_1 + k_2v_2=0\) Change this equation. \[k_2 = -\frac{v_1}{v_2} k_1\] This equation is plane that slope is \(-\frac{v_1}{v_2}\). Q.E.D

English ver Introduction 失敗 成功 Reference Introduction コマンドラインで次のような表示をさせたい。 apple   apple     apple       apple         apple 失敗 次のようなprintを使ったcodeでは失敗する def main () : i = 0 while i< 5 : print( 'apple' ) j = 0 while j < i: print( ' ' ) j = j + 1 i = i + 1 if __name__ == '__main__' : main() 結果は、、、 Printは使うごとに改行してしまうのです。 成功 次のようなcodeを見てください。 import sys def main () : i = 0 while i < 5 : print( 'apple' ) j = 0 while j <= i: sys.stdout.write( ' ' ) j = j + 1 i = i + 1 if __name__ == '__main__' : main() sys.stdout.write は改行を無視してくれます。 結果！！ 一つ注意することはsys.stdout.weiteはstrしか受け付けないことです。 Reference https://www.lifewithpython.com/2013/12/python-print-without-.html

日本語ver Introduction Miss succeed Reference Introduction I want to display following print in Command line. apple   apple     apple       apple         apple Miss However, This print is not able to display following code used print script. def main () : i = 0 while i< 5 : print( 'apple' ) j = 0 while j < i: print( ' ' ) j = j + 1 i = i + 1 if __name__ == '__main__' : main() rusult… Print code change line when writing new apple. succeed Please, look at following code. import sys def main () : i = 0 while i < 5 : print( 'apple' ) j = 0 while j <= i: sys.stdout.write( ' ' ) j = j + 1 i = i + 1 if __name__ == '__main__' : main() sys.stdout.write is write string regardless of the changing line. Result! However, I give you a strong warning that sy

Introduction sorry, this page is Japanese only 今回は写像の厳密な定義をして行きたいと思います。写像は大学数学では線形代数や微積分の分野で 序盤から正しい定義をされることもなく当たり前のように使われているのではないでしょうか。 写像とは何となく関数のようなものだが、しかし先生は関数ではないといいます。これに私も、 ずいぶん悩まされましたが、大学二回生の集合と位相という講義で厳密な定義を習ったので、 ここで共有させていただこうと思います。 写像(map) 写像f:A->Bの定義 任意のAの要素はBの中に対応するbという要素がただ一つ存在する。 記号で書くと以下のようになります。 $$\forall a \in A \exists ! b \in B ~~s.t~~ f(a) = b$$ この定義は二つの事柄について分けて考えることで写像の定義を正しく確認できます。 全てのAの要素aについてfで送ると対応するbの要素がBの中に存在する。 Aの中の一つの要素から対応するBの要素が二つ存在することはあり得ない。 この二つは後に述べる逆写像が存在するための必要十分条件のために必要なので覚えておいてください。 全射 写像$f:A \rightarrow B$が全射 $$f(A) = B$$ つまり、Bの全ての要素が余ることなく、Aの中のある要素aをfで送ることで対応しているということです。 単射 写像$f:A \rightarrow B$が単射 $$\forall a_1, \forall a_2 \in A if f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2$$ これは対偶をとると以下のように解釈できます。 $$\forall a_1, \forall a_2 \in A if a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) = f(a_2)$$ つまり、fで送る要素$a_1,a_2$が違えば必ず違う行く先に対応しているということです。 写像fが全射であり、単射であるとき、fは全単射といいます。 逆写像 逆写像とは写像$f:A \rightarrow B$

Introduction sorry, this page is Japanese only. いよいよ私も三回生になり、グラフ理論の授業が始まりました。ということで、グラフ理論の基本的な定義を書いていこうと思います。 最後に説明する隣接行列については実装を行いましたので、以下の記事もよろしければご覧ください。 隣接行列の実装 グラフのイメージ グラフ理論のグラフとは高校数学で習う二次関数などとは違います。 例えば駅などを創造してください。各駅間に線路が通っていますね。このような、駅、線路の集まりのことをグラフといいます。次の絵で確認してもらえるとイメージしやすいかと思います。 このようなものをグラフといいます。グラフは二点間がどうつながっているかだけを保存し、実際の距離や位置関係は保存しません。 このような向きのない（各駅を行き来でき、一方通行ではない）グラフを無向グラフをいいます。反対に向きのある（一方通行しかできない）グラフを有向グラフといいます。 グラフの定義 グラフではある空でない集合E,Vを考えます。Eの要素をedge(辺）、Vの要素をvertex(頂点)といいます。 ここで以下のような写像を考えます。 $$g:E \rightarrow V \times V$$ この時(E,V,g)で定義される空でない空間のことをグラフといいます。 写像で捉えるグラフ 写像gというのは、Eの要素、つまり辺を対応する(始点、終点)というV×Vの集合の要素に送ります。gは写像ですので、写像の定義より、Eのどの要素の始点と終点が対応していることになります。つまり、辺がどこにもつながっていないということはあり得ません。反対にすべてのV×Vの要素がEの要素のどれかに対応しているのであればgは全射になります。 隣接行列 隣接行列とはどのvertexと、どのvertexがつながっているかを行列で表します。例を見るのが理解するのには早いと思うので、例を挙げて説明します。 上のグラフのイメージで出てきたグラフの例を考えましょう。隣接行列は以下のようになります。 $$　\[  adj = \left( \begin{array}{cccccc} 0 &

Introduction sorry, this page is Japanese only.   ここでは隣接行列の実装を行っていきます。Python3を使っています。OSはwindows10です。隣接行列の説明は以下の記事の下の方をご覧ください。 グラフ理論の基礎 実装例 扱うグラフ コマンドでの結果 Code defファイル import numpy as np class directed_Gragh(): def __init__(self,E,V,gragh_map): self.edge = E; self.vertex = V; self.map = gragh_map; def Adjacency_matrix(self): adjacency_matrix = np.zeros((self.vertex.shape[0],self.vertex.shape[0])) for ed in self.edge: P_ = self.map(ed) start = P_[0] end = P_[1] row = np.where(self.vertex == start) column = np.where(self.vertex == end) adjacency_matrix[row,column] = 1 adjacency_matrix[column,row] = 1 return adjacency_matrix mainファイル import numpy as np from Gragh_def import directed_Gragh def main(): vertex = np.array(['house','station','school','hospital']) edge = np.array([1,2,3,4

Introduction sorry, this page is Japanese only.   今回はベイズの定理について書こうと思います。 ベイズの定理とは、イギリスのトーマス・ベイズによって発見された、条件付き確率に関する定理です。現在のベイズ推定で用いられる重要な定理です。どのような定理かを解説していこうと思います。 ベイズの定理 ベイズの定理とは 確率P(B|A):事象Aが起こった後での事象Bの確率（事後確率） 確率P(B):事象Aが起こる前の事象Bの確率（事前確率） とするとき以下が成り立つことを示しています。 $$P(B|A) = \frac{P(A|B) P(B)}{P(A)}$$ 例 例えば、次のように事象A、事象Bwo定義します。 事象A:あるYoutuberが動画を投稿したとき、再生回数が100万回を超える 事象B:あるYoutuberがお金を50万円以上使う動画を投稿する この時確率P(A|B)、つまり50万円以上を使った動画が再生回数100万回を超える確率は、youtube内の50万円以上使っている動画を根こそぎ集め、その再生回数を得ることによって推定できそうです。では確率P(A|B)がわかった時、確率P(B|A)もわかる。これがベイズの定理の強みです。（当然確率P(A)とP(B)がわかっている必要はあります。） 確率P(B|A)とはあるYoutuberの動画が再生回数100万回を超えたとき、その同がで50万円以上使っている確率となります。これがわかれば、100万回動画が再生される原因は本当に50万円以上お金を使うことなのかがわかります。 確率P(A|B)が低い時を考えてみましょう。 つまり、50万円以上使った動画は再生回数100万回を超える確率は高い。しかし、100万回再生回数を突破したとき、その動画が50万円以上使っている可能性は低い。この状況はベイズの定理の式を考えいると理解しやすいです。 ベイズの定理の式を見てみると、P(B|A)は低く、P(A|B)が高いということは、確率P(A)が著しく高い。もしくは、P(B)が著しく低い。この二つがあげられます。 つまり、あるYouruberが100万回再生を突破する確率がかなり、高い。もしくは、あるYoutuberが50万

Introduction sorry, this page is Japanese only.   今日がダイバージェンスについて書いていきます。 ちなみにエントロピーの知識を使うのでエントロピーの記事も見てあげてください。 エントロピーの記事はこちら Kullback-Leibler Divergence 二つの確率分布の平均エントロピーの差を表す値をKLダイバージェンスといいます。 式では次のように定義されます。 $$KL(P||Q) = \int_{-\infty}^{\infty} P(X) log \frac{P(X)}{Q(X)}$$ 離散の場合は $$KL(P||Q) = \sum_{i} P(X_i) log \frac{P(X_i)}{Q(X)}$$ なぜ二つの分布間の距離をこのように定義できるのでしょうか。 式の解釈 真の分布P(X)が存在するとします。しかし、有限のデータから真の分布P(X)を求めるのは難しいです。そこで、有限のデータから推定して得られた確率分布をQ(X）とします。では真の分布P(X）と推定した分布Q(X)はどれだけ違っているのでしょうか。 ここで登場するのがエントロピーです。エントロピーはその分布の不確実性を示す値でした。 エントロピーが高いほど不確かなことが起こるとゆうことです。 P(X)のエントロピーとは$-\int_{-\infty}^{\infty} logP(X)$でした。 では推定した確率分布Q(X）は確率分布P(X)に対してどれだけ不確実性を持っているのでしょうか。エントロピーとは情報量の期待値でした。確率分布Q(X）が持つ情報量は$-logQ(X)$です。この情報量を確率P(X)で期待値をとります。 式は以下のようになります。 $$-\int_{-\infty}^{\infty} P(X) logQ(X)$$ この値と真の分布のエントロピーとの差を二つの分布間の差として定義します。式では以下のようになります。 $$-\int_{-\infty}^{\infty} P(X) logQ(X) - (--\int_{-\infty}^{\infty} P(X) logP(X)))$$ これを式変形すると $$-\int_{-\infty}^{\in