journey of Froakie (ケロマツの旅路)

Introduction English ver 今日は、ダイクストラ法について書きます。ダイクストラ法とは最短距離を求めるアルゴリズムです。地図はグラフで表されます。もし、まだ this page を見ていない方は先にこちらをご覧ください。今回はこの記事を前提としています。このページでは、グラフの定義と、ヒープ構造について書いています。ダイクストラ法ではヒープ構造を使って、かなりの計算量を落とします。 この スライド はダイクストラ法を説明したスライドです。 Overview アルゴリズム 実装 アルゴリズム このアルゴリズムは スタート始点のノードを決める。そして、それをAと名付ける。 各ノードに$d=\infty$を割り当てる。ただし、スタート地点はd=0 Aの隣接ノードのリストをadj_listと名付ける。  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. グラフnetworkからAを取り除く グラフnetworkの中で最初のdを持っているノードをAとし、4に戻る。 となっています。 このアルゴリズムを図を用いて説明します。  このグラフを使って説明します。  初めに、スタート地点を決めます。そして、各ノードに$d=\infty$を割り当てます。  Aから始まります。Aの隣接ノードであるBのdを更新します。もし、現在のBよりもAのdとA->Bへの重みを足したもののほうが小さいならdをその値に更新します。同じようにCnのdを更新します。 次にAを取り除きます。  次はBから始まります。Aと同じことをやります。 このダイクストラ法では今のような操作をグラフの全てのノードに×がつくまで続きます。 実装 このアルゴリズムでは$O(log(|V|^2))$という計算量を持っています。最小のdを持つノードを探すのに時間がかかります。 しかし、ヒープ構造を使えばO((E+V)log(V))に減らせます。ヒープ構造で現時点でのノードのdをヒープ構造で保存しておけば、ヒープ構造から取り

Introduction 日本語 ver Today, I will write about the dijkstra method. This method is algorithm which find the shortest distance. The map is expressed by graph. If you never see  this page , look at its page. This page explain the heap structure and definition of graph. The dijkstra method used heap structure, Because heap structure reduce the amout of calculation of dijkstra method. I use  this slide  to explain dijkstra. Overview Algorithm Implementation Algorithm This algorithm is  Decide start node, and this node named A. Allocate $d=\infty$ for each node, but d=0 for start node. Adjacent node of A named adj_list.  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. Remove A from graph network. Find node which have the smallest d and it named A, and if network have node, back to 4. I explain this algorithm by drawing.  I explain algorithm by using this graph.  Fistly, Decede start node and allocate $d=

Introduction English ver 今日はヒープ構造について書きます。ヒープ構造はデータ構造の一種です。ちょうど大学の自主ゼミグループのセミナー合宿に参加させてもらい、そこでグラフ理論を勉強したので、メモをしておこうと思います。   slide  はこんなのを使いました。 Overview データ構造 二分木 ヒープ 実装 ヒープソート データ構造 ヒープ構造の前に、データ構造について、説明します。データ構造とは、データを保存する手法であります。データ構造は、そのデータについてどのような操作を行いたいかによって、最適なものを選ぶことになります。 ヒープ構造はプライオリティキューと呼ばれれるデータ構造を表す方法です。プライオリティキューで行いたい操作は以下の二つです。 データの追加 最小値の抽出 二分木 まず、グラフを定義します。E と V は集合とし、 $e \in E$、つまりEの要素をedge(枝)と呼びます。また、$v \in V$、つまりVの要素をnodeと呼びます。 g:E->V×V をEからV × Vへの写像とします。この時、.(E,V,g)をグラフを言います。 例えば、次のようなものがあります。 丸いのがそれぞれのnodeで、矢印がedgeになります。 各edgeに対して、始点v1と始点v2を対応させるのが写像gの役目です。 根付き木とは次のような木のことです。 これはnode1からnodeが二つずつどんどん派生していっています。 特に、次のような木を 二分木 といいます。 特徴は、ノードが上からなおかつ左から敷き詰められています。一番上のノードを根といいます。また、例えば2を基準にすると、1は2の親、4,5は2の子、3は2の兄弟、8,9,10,11,12は葉と呼ばれます。 ヒープ ヒープ構造はプライオリティキューを二分木で表現したものです。プライオリティキューでやりたいことは次のことでした。 データの追加 最小値の抽出 . では、どのようにこの二つの操作を実現するのでしょうか。 初めにデータの追加について説明します。 1. 二分木の最後に追加するノードをくっつけ

Introduction 日本語 ver Today, I will write about heap structure. The heap structure is one of the data structure. My reason of studying heap structure is that I joined seminar of Ritsumeikan Univ. I used this  slide  in seminar of Ritsumeikan Univ. Overview data structure binary tree heap Implementation heap sort Data structure I will explain about data structure before explaining about heap. Data structure is how to keep data. Data structure is selected on the basis of operation which you want to.  Heap belong to data structure called priority queue. priority queue have purpose which  add data pick up minimum data (and remove)  Binary Tree Let, E and V are sets. The element $e \in E$ is called edge. The element $v \in V$ is called node. g:E->V×V is map to V × V from E. (E,V,g) is called graph. For example, The arrows are edge. The circles are node. This is expressed map. It is possible to go to node 3 from 1. Rooted tree is tree a

Introduction English ver 今日はMAP推定（事後確率最大化法）について書きました。MAP推定ではベイズの定理を使います。データが少ないとき、最尤推定の結果をあまり信用できない話は、最尤推定の時に書きました。この時、MAP推定では自分の事前に持っている情報を取り入れることができます。 概要 ベイズの定理 MAP推定 共役分布 MAP推定の例 ベイズの定理 ベイズの定理は $$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ です。 ただし、 $P(A|B)$ はBが起こった時のAの起こる確率です。 詳しくは  http://takutori.blogspot.com/2018/04/bayes-theorem.html  を見てください。 Map推定 MAP推定ではベイズの定理を使います。MAP推定は事後確率が最大になるようなパラメータを選びます。 いま、$x_1,x_2,...,x_n$というデータを$\theta$というパラメータを持つ分布から得られたとする。この時$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)$を求めたい。 ここで、ベイズの定理を使う。 $$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n) = \frac{P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ ここで、$P(\theta)$は$\theta$の事前分布である。 $x_1,x_2,...,x_n$はそれぞれ独立であるので、 $$P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) = \Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta)$$. よって、マップ推定は $$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta} \frac{\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ となる。 $P(x_1,x_2,...,x_n)$という値は$\theta$には依存しない。よって、定数であり、最適化に定数は関係ないので、排除すると、MAP推定は次のようになる。 $$\theta^{\sta