journey of Froakie (ケロマツの旅路)

Introduction English ver 今日は写像の連続性の定義を位相を用いて行います。 こちらの記事 では位相の定義、開集合、開集合が位相の公理を満たすことを示しました。しかし、写像の連続性の定義は行いませんでした。この記事ではそれをやっていきます。重要なことであり、証明を書きます。 概要  開集合 $\epsilon-\delta$論法 開集合による写像の連続性の定義 同値の証明 開集合 (X,d)を距離空間とします。 $A \subset X$:開集合 $$\iff$$ $$\forall x \in A,~~\exists \epsilon > 0, ~~s.t.~~ B(x,\epsilon) \subset A$$ ここで、$$B(x,\epsilon):= \{y\in A| d(x,y) < \epsilon\}$$ この定義は位相の公理を満たすので位相として距離空間に入れることができます。そのことは前回の記事で書きました。 $\epsilon-\delta$ 論法 $\epsilon-\delta$論法について確認します。この論法は学部一年生で習うと思います。 f:X-> Y:写像で、 fが$x=x_0$で連続とは $$\iff$$ $$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$$ $$\iff$$ $$\forall \epsilon > 0,~~\exists \delta >0 ~~s.t~~ d(x,x_0) < \delta \implies d(f(x),f(x_0)) < \epsilon $$ 開集合を用いた写像の連続性の定義 Define1.0 $(X,\mathbb{O}_X),(Y,\mathbb{O}_Y)$を位相空間とします。 $f:X \rightarrow Y$が$x=x_0$で連続 $$\iff$$ $$f(x_0) \in \forall V:\textrm{open set} \subset Y~~,f^{-1} (V) \subset X ~~\textrm{is open set}$$ ここで、$\mathbb{O_X}...

Introduction English ver 今日から位相空間論について書いていきます。自分の復習のためですが、、、 位相空間は数学を学ぶ上でとても重要になってきます。 位相空間を定義する利点の一つは写像の連続性を位相を用いて定義できるからです。 今日は位相の定義について書いていきたいと思います。 概要   距離空間 位相の公理 位相空間 開集合 距離空間 初めに距離空間を定義します。 Xを集合,関数dを $d:X\times X ->\mathbb{R}$とします。この時、 (X,d)が距離空間である$\iff$ $\forall x,y \in X,~~~~~d(x,y) \geq 0$ $\forall x,y \in X,~~~~~x = y \implies d(x,y) = 0$ $\forall x,y \in X,~~~~~d(x,y) = d(y,x)$ $\forall x,y,z \in X, ~~~~d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$ この条件は距離の公理と呼ばれています。 dは距離関数と呼ばれています。 位相空間 (X,d)を距離空間とします。この時、 $\mathbb{O} \in 2^X$が(X,d)の位相$\iff$ $\phi,X \in \mathbb{O}$ $\forall O_1,O_2 \in \mathbb{O} \implies O_1 \cap O_2 \in \mathbb{O}$ $\forall \Lambda ,~~\forall \{O_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda} \in O \implies \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathbb{O}$ ここで$2^X := \{A | A \subset X \}$です。 この条件は位相の公理と呼ばれています。 気を付けるべき点は $\Lambda$ は任意の添え字集合であることです。つまり、$\mathbb{N}$でなくても$\mathbb{R}$のような実数無限集合でもよいのです。 この時、$(X,d,\mathb...