位相を用いた写像の連続性の定義

Introduction

English ver

今日は写像の連続性の定義を位相を用いて行います。こちらの記事では位相の定義、開集合、開集合が位相の公理を満たすことを示しました。しかし、写像の連続性の定義は行いませんでした。この記事ではそれをやっていきます。重要なことであり、証明を書きます。

概要

•  開集合
• $\epsilon-\delta$論法
• 開集合による写像の連続性の定義
• 同値の証明

開集合

(X,d)を距離空間とします。
$A \subset X$:開集合
$$\iff$$
$$\forall x \in A,~~\exists \epsilon > 0, ~~s.t.~~ B(x,\epsilon) \subset A$$

ここで、$$B(x,\epsilon):= \{y\in A| d(x,y) < \epsilon\}$$

この定義は位相の公理を満たすので位相として距離空間に入れることができます。そのことは前回の記事で書きました。

$\epsilon-\delta$ 論法

$\epsilon-\delta$論法について確認します。この論法は学部一年生で習うと思います。

f:X-> Y:写像で、
fが$x=x_0$で連続とは
$$\iff$$
$$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$$
$$\iff$$
$$\forall \epsilon > 0,~~\exists \delta >0 ~~s.t~~ d(x,x_0) < \delta \implies d(f(x),f(x_0)) < \epsilon $$

開集合を用いた写像の連続性の定義

Define1.0

$(X,\mathbb{O}_X),(Y,\mathbb{O}_Y)$を位相空間とします。
$f:X \rightarrow Y$が$x=x_0$で連続
$$\iff$$
$$f(x_0) \in \forall V:\textrm{open set} \subset Y~~,f^{-1} (V) \subset X ~~\textrm{is open set}$$
ここで、$\mathbb{O_X}$ and $\mathbb{O_Y}$はそれぞれ、X,Yの開集合族です。さらに、$f^{-1} (V) := \{a \in X| f(a) \in V \}$とします。

この定義は$\epsilon-\delta$論法と同値になります。

同値の証明

• Define 1.0 $\implies$ $\epsilon-\delta$論法

$\forall V, f(x_0) \in V$.よって、 $x_0 \in f^{-1}(V)$.
$f^{-1}(V)$は開集合なので、$\exists \delta > 0 ~~s.t.~~ B(x_0,\delta) \subset f^{-1}(V)$.
よって、$\forall x \in X ,~~x \in B(x_0,\delta) \implies x \in f^{-1}(V)$.
$x \in B(x_0,\delta) \iff d(x,x_0) < \delta$
$x \in f^{-1}(V) \iff f(x) \in V$.
ここで、$V$の半径を$\frac{\epsilon}{2}$とします。
$f(x) \in V$なので、$~~d(f(x),f(x_0)) < \epsilon$.

結果、$V$が任意なので、
$$\forall \epsilon ~~\exists \delta ~~s.t.~~ d(x,x_0) < \delta \implies d(f(x),f(x_0)) < \epsilon$$

• $\epsilon-\delta$ reasoning. $\implies$ Define 1.0

$\forall x \in f^{-1}(V)$,$f(x) \in V$と$f(x_0) \in V$が成り立つので、 $d(f(x),f(x_0)) < \epsilon$.ここで、$\frac{\epsilon}{2}$は$V$の半径とします。
$\epsilon-\delta$論法により、 $\exists \delta > 0 ~~s.t.~~ d(x,x_0) < \delta$.

$B(x,\delta):= \{y \in X|d(x,y) < \delta \}$とします。
$\forall y \in B(x,\delta),$ because $d(x,y) < \delta$, $d(f(x),f(y)) < \epsilon$. よって、$f(y) \in B(f(x),\epsilon) \subset V$
$f(y) \in V$なので、$y \in f^{-1}(V)$.
よって、$y \in B(x,\delta) \implies y \in f^{-1}(V)$.
結果、$B(x,\delta) \subset  f^{-1}(V)$.
よって、$f^{-1}(V)$は開集合。

Q.E.D