二次元空間の直線

Introduction

English ver

今日は、次の定理を証明します。

二次元空間の直線は次のように表せる

$\{x|<x,v> = 0\}$

ただし、vは直線に直行し、ゼロでないベクトルとします。

証明

$\forall k \in \{x|<x,v> = 0\},$

$<k,v> = 0$
k と vは二次元空間のベクトルなので、それぞれのベクトルは次のように表せます。

$k = (k_1,k_2)$

$v = (v_1,v_2)$
よって

$<k,v>=k_1v_1 + k_2v_2=0$

方程式を

$k_2$ について解くと

$k_2 = -\frac{v_1}{v_2} k_1$

これはまさしく、傾き

$-\frac{v_1}{v_2}$ の直線です。
Q.E.D

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