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二次元空間の直線

Introduction

English ver

今日は、次の定理を証明します。


二次元空間の直線は次のように表せる
\[\{x|<x,v> = 0\}\]

ただし、vは直線に直行し、ゼロでないベクトルとします。

証明

\[\forall k \in \{x|<x,v> = 0\},\]
\[<k,v> = 0\]
k と vは二次元空間のベクトルなので、それぞれのベクトルは次のように表せます。
\[k = (k_1,k_2)\]
\[v = (v_1,v_2)\]
よって \(<k,v>=k_1v_1 + k_2v_2=0\)

方程式を\(k_2\)について解くと
\[k_2 = -\frac{v_1}{v_2} k_1\]

これはまさしく、傾き\(-\frac{v_1}{v_2}\)の直線です。
Q.E.D
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