Processing math: 0%
スキップしてメイン コンテンツに移動

Map

Introduction
sorry, this page is Japanese only

今回は写像の厳密な定義をして行きたいと思います。写像は大学数学では線形代数や微積分の分野で 序盤から正しい定義をされることもなく当たり前のように使われているのではないでしょうか。 写像とは何となく関数のようなものだが、しかし先生は関数ではないといいます。これに私も、 ずいぶん悩まされましたが、大学二回生の集合と位相という講義で厳密な定義を習ったので、 ここで共有させていただこうと思います。

写像(map)
写像f:A->Bの定義
任意のAの要素はBの中に対応するbという要素がただ一つ存在する。 記号で書くと以下のようになります。

\forall a \in A \exists ! b \in B ~~s.t~~ f(a) = b

この定義は二つの事柄について分けて考えることで写像の定義を正しく確認できます。


  • 全てのAの要素aについてfで送ると対応するbの要素がBの中に存在する。
  • Aの中の一つの要素から対応するBの要素が二つ存在することはあり得ない。
この二つは後に述べる逆写像が存在するための必要十分条件のために必要なので覚えておいてください。

全射
写像f:A \rightarrow Bが全射

f(A) = B

つまり、Bの全ての要素が余ることなく、Aの中のある要素aをfで送ることで対応しているということです。

単射
写像f:A \rightarrow Bが単射
\forall a_1, \forall a_2 \in A if f(a_1) = f(a_2) \implies a_1 = a_2

これは対偶をとると以下のように解釈できます。

\forall a_1, \forall a_2 \in A if a_1 \neq a_2 \implies f(a_1) = f(a_2)

つまり、fで送る要素a_1,a_2が違えば必ず違う行く先に対応しているということです。

写像fが全射であり、単射であるとき、fは全単射といいます。


逆写像
逆写像とは写像f:A \rightarrow Bに対して、以下を満たす写像のことを言います。
\b in \V \exists a \in A ~s.t~ f^{-1}(b) = a
逆写像はどのような写像fについても定義できるのでしょうか。
逆写像も写像なので、当然写像の定義を満たしていなければいけません。 

写像の定義から

  • 全てのBの要素ｂについて f^{-1} で送ると対応するaの要素がAの中に存在する。
  • Bの中の一つの要素から対応するAの要素が二つ存在することはあり得ない。
また、fも写像なので 
  • 全てのAの要素aについてfで送ると対応するbの要素がBの中に存在する。
  • Aの中の一つの要素から対応するBの要素が二つ存在することはあり得ない。 

これらを見ていると集合Aと集合Bが一対一対応していなければいけないことがわかるはずです。 

よって逆写像が定義される必要十分条件は写像fが全単射であることです。







ラベル

Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

カーネルk-meansの実装

Introduction   English ver 今日はカーネルk-meansの実装をしました。k-menasアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。僕がカーネルk-meansを実装しようと思ったのには一つ理由があります。それは僕の友人がk-meansのプレゼンを、僕がカーネルのプレゼンをしていた時に、k-meansにカーネルを適応できないかと思ったからです。そこで、カーネルk-meansについての論文を探しました。 ここのpdf を主に参考にさせていただきました。うまくカーネルk-meansを実装できたと思います。ここでは、普通のk-meansとカーネルを用いた,kernel k-meansについての実装の結果を紹介します。 また、この記事では実装結果のみ書きますが、理論のほうも別の記事で書くつもりです。書き終えたらリンクをこの記事にも貼っておきます。 #  理論編書きました。K-means 理論編 概要 dataset   ちょっとだけ理論の説明  k-means    kernel k-means   Dataset   English ver 今回使うのは二つのデータセットです。一つ目は、普通のk-means用のデータです。二つ目はkernel k-means用のデータセットです。 一つ目のデータは、三つのグループで構成されており、次元は2で、サンプル数は300です。以下のような分布になっています。 二つ目のデータは二つのグループで構成されており、次元は2でサンプル数は300です。   this page にデータセットを作ったコードを載せています。 ちょっとだけ理論の説明 k-meansとは、k-平均法とも呼ばれています。初めに、適当なクラスに分け、各クラスの中で平均となるベクトルを求めます。そして、各データに対して、すべての平均ベクトルとの距離を求めます。そして、最小となる距離になるクラスに改めて、そのデータをクラスタリングします。そして、新たに得られたクラスの中でそれぞれ平均ベクトルを求め、これを繰り返し、平均ベクトルが動かな...
コメントを投稿
続きを読む

ダイクストラ法

Introduction English ver 今日は、ダイクストラ法について書きます。ダイクストラ法とは最短距離を求めるアルゴリズムです。地図はグラフで表されます。もし、まだ this page を見ていない方は先にこちらをご覧ください。今回はこの記事を前提としています。このページでは、グラフの定義と、ヒープ構造について書いています。ダイクストラ法ではヒープ構造を使って、かなりの計算量を落とします。 この スライド はダイクストラ法を説明したスライドです。 Overview アルゴリズム 実装 アルゴリズム このアルゴリズムは スタート始点のノードを決める。そして、それをAと名付ける。 各ノードにd=\inftyを割り当てる。ただし、スタート地点はd=0 Aの隣接ノードのリストをadj_listと名付ける。  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. グラフnetworkからAを取り除く グラフnetworkの中で最初のdを持っているノードをAとし、4に戻る。 となっています。 このアルゴリズムを図を用いて説明します。  このグラフを使って説明します。  初めに、スタート地点を決めます。そして、各ノードにd=\inftyを割り当てます。  Aから始まります。Aの隣接ノードであるBのdを更新します。もし、現在のBよりもAのdとA->Bへの重みを足したもののほうが小さいならdをその値に更新します。同じようにCnのdを更新します。 次にAを取り除きます。  次はBから始まります。Aと同じことをやります。 このダイクストラ法では今のような操作をグラフの全てのノードに×がつくまで続きます。 実装 このアルゴリズムではO(log(|V|^2))という計算量を持っています。最小のdを持つノードを探すのに時間がかかります。 しかし、ヒープ構造を使えばO((E+V)log(V))に減らせます。ヒープ構造で現時点での...
コメントを投稿
続きを読む

ヘッセ行列

Introduction English ver 今日は、ヘッセ行列を用いたテイラー展開について書こうと思います。 これは最適化を勉強するにあたって、とても大事になってくるので自分でまとめて残しておくことにしました。とくに、機械学習では最適化を必ず行うため、このブログのタイトルにもマッチした内容だと思います。 . 概要 ヘッセ行列の定義 ベクトルを用いたテイラー展開 関数の最適性 ヘッセ行列の定義 仮定 f は次のような条件を満たす関数です。. f はn次元ベクトルから実数値を出力します。 このベクトルは次のように表せます。 x = [x_1,x_2,,,,x_n] \forall x_i , i \in {1,2,,,n}, f は二回偏微分可能です。 定義 ヘッセ行列は \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}を (i,j)要素に持ちます。 よってヘッセ行列は次のように表せます。 \[ H(f) = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^ 2}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & &\ldots \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_2^ 2} & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \ldo...
コメントを投稿
続きを読む