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変分法の可視化

Introduction


今日は、変分法の可視化を実装しました。変分法は、汎関数を最小化させるために使われます。汎関数とは、関数の関数のようなものです。変分法については、 [1],[2],[3],[5], [6]などを参考にしてください。

概要

  • 汎関数
  • 実装
  • 可視化

汎関数
今回は、次のような汎関数を使います。
$$F(x) = \sqrt{1+(\frac{du}{dx}(x))^2}$$
$$l(u) = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(\frac{du}{dx}(x))^2} dx$$

l(u)はu(x)という曲線の長さです。. 
$u(0)=a$ and $u(1)=b$という制約のもと、$l(u)$を最小化したいといます。
最適な$l(u)$は
$$u(x) = (b-a)x+a$$
となります。

(0,a) から (1,b)への直線になっているのがわかります。
これは、$l(u)$は$u$の曲線の長さなので、これを最小化するためには直線が一番であることが直観的にわかります。

変分法での導出は、[5]を参考にしてください。

実装
変分法における最適な曲線とそうでない曲線の違いを可視化する実装をしました。
$u_A$を
$$u_A = (b-a)x+a + A sin(8t)$$
とします。
$A sin(8t)$ は$u$から話す役割を持ちます。. $A \in [0,0.5]$であり、もし$A=0$であれば、$u_A=u$です。

githubでcodeを公開しています。



可視化
上側の画像は$u_A(x)$を表しています。下側の画像は$l(u_A)$の値を表しています。
$u_A(x)$が$u$に近づくほど、$l(u_A)$が小さくなることがわかります。







Reference
[1]http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/optimization/resume10-4.pdf
[2]http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/brachisto/
[3]http://eman-physics.net/math/differential21.html
[4]http://bicycle1885.hatenablog.com/entry/2014/02/14/023734
[5]http://www2.kaiyodai.ac.jp/~yoshi-s/Lectures/Optimization/2013/lecture_6.pdf
[6]http://www.qi.mp.es.osaka-u.ac.jp/personal/imoto/index-j/jugyou/Kaiseki170427.pdf
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