Introduction
今回はロルの定理について書いていきます・ロルの定理は平均値の定理の証明に使われる定理です。
平均値の定理についてはまた、今度書こうと思います。
ロルの定理の前に最大値原理というものを紹介しておきます。(後で証明に使います。)
最大値原理
fが閉区間上で連続な関数\implies
fは最大値を持つ(有限値)
証明
最大値原理の証明は難しいです。この投稿で書いてしまうのは大変なので、また、別の投稿で書きたいと思います。Maximum Principle
ロルの定理
fは区間[a,b]で連続で、(a,b)で微分可能とします。この時
f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b
証明
- f(x) が定数関数の時、
\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0 - f(x)が定数関数でない時、
I proof f'(c)=0
f はx = c で微分可能で、f(c) >= f(c+h).
よって
f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0
f'(c) = \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0
よって 0 \leq \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} =f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0
f'(c)=0
\exists t ~~s.t f(a)>f(t) の時も同様です。
イメージ

f(3)=f(5) の時、関数には折り返し地点が存在します。(出ないと戻ってこれない。)
この折り返し地点がcとなります。
結論
ロルの定理は平均値の定理に使われる定理です。平均値の定理は別の投稿で紹介しようと思います。
Mean-Value Theorem
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