スキップしてメイン コンテンツに移動

ロルの定理

Introduction

今回はロルの定理について書いていきます・
ロルの定理は平均値の定理の証明に使われる定理です。
平均値の定理についてはまた、今度書こうと思います。
ロルの定理の前に最大値原理というものを紹介しておきます。（後で証明に使います。）

最大値原理

fが閉区間上で連続な関数
\(\implies\)
fは最大値を持つ（有限値）

証明

最大値原理の証明は難しいです。この投稿で書いてしまうのは大変なので、また、別の投稿で書きたいと思います。
Maximum Principle

ロルの定理

fは区間[a,b]で連続で、(a,b)で微分可能とします。
この時
\[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\]

証明

  • f(x) が定数関数の時、
    \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\]
  • f(x)が定数関数でない時、
\(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle
I proof \(f'(c)=0\)
f は\(x = c\)　で微分可能で、\(f(c) >= f(c+h)\).
よって
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0\]
よって　\[0 \leq \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} =f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c)=0\]
\(\exists t ~~s.t f(a)>f(t)\)　の時も同様です。

イメージ

enter image description here
\(f(3)=f(5)\)　の時、関数には折り返し地点が存在します。（出ないと戻ってこれない。）
この折り返し地点がcとなります。

結論

ロルの定理は平均値の定理に使われる定理です。
平均値の定理は別の投稿で紹介しようと思います。
Mean-Value Theorem

Reference

Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

カーネルk-meansの実装

Introduction   English ver 今日はカーネルk-meansの実装をしました。k-menasアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。僕がカーネルk-meansを実装しようと思ったのには一つ理由があります。それは僕の友人がk-meansのプレゼンを、僕がカーネルのプレゼンをしていた時に、k-meansにカーネルを適応できないかと思ったからです。そこで、カーネルk-meansについての論文を探しました。 ここのpdf を主に参考にさせていただきました。うまくカーネルk-meansを実装できたと思います。ここでは、普通のk-meansとカーネルを用いた,kernel k-meansについての実装の結果を紹介します。 また、この記事では実装結果のみ書きますが、理論のほうも別の記事で書くつもりです。書き終えたらリンクをこの記事にも貼っておきます。 #  理論編書きました。K-means 理論編 概要 dataset   ちょっとだけ理論の説明  k-means    kernel k-means   Dataset   English ver 今回使うのは二つのデータセットです。一つ目は、普通のk-means用のデータです。二つ目はkernel k-means用のデータセットです。 一つ目のデータは、三つのグループで構成されており、次元は2で、サンプル数は300です。以下のような分布になっています。 二つ目のデータは二つのグループで構成されており、次元は2でサンプル数は300です。   this page にデータセットを作ったコードを載せています。 ちょっとだけ理論の説明 k-meansとは、k-平均法とも呼ばれています。初めに、適当なクラスに分け、各クラスの中で平均となるベクトルを求めます。そして、各データに対して、すべての平均ベクトルとの距離を求めます。そして、最小となる距離になるクラスに改めて、そのデータをクラスタリングします。そして、新たに得られたクラスの中でそれぞれ平均ベクトルを求め、これを繰り返し、平均ベクトルが動かな...
コメントを投稿
続きを読む

ダイクストラ法

Introduction English ver 今日は、ダイクストラ法について書きます。ダイクストラ法とは最短距離を求めるアルゴリズムです。地図はグラフで表されます。もし、まだ this page を見ていない方は先にこちらをご覧ください。今回はこの記事を前提としています。このページでは、グラフの定義と、ヒープ構造について書いています。ダイクストラ法ではヒープ構造を使って、かなりの計算量を落とします。 この スライド はダイクストラ法を説明したスライドです。 Overview アルゴリズム 実装 アルゴリズム このアルゴリズムは スタート始点のノードを決める。そして、それをAと名付ける。 各ノードに$d=\infty$を割り当てる。ただし、スタート地点はd=0 Aの隣接ノードのリストをadj_listと名付ける。  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. グラフnetworkからAを取り除く グラフnetworkの中で最初のdを持っているノードをAとし、4に戻る。 となっています。 このアルゴリズムを図を用いて説明します。  このグラフを使って説明します。  初めに、スタート地点を決めます。そして、各ノードに$d=\infty$を割り当てます。  Aから始まります。Aの隣接ノードであるBのdを更新します。もし、現在のBよりもAのdとA->Bへの重みを足したもののほうが小さいならdをその値に更新します。同じようにCnのdを更新します。 次にAを取り除きます。  次はBから始まります。Aと同じことをやります。 このダイクストラ法では今のような操作をグラフの全てのノードに×がつくまで続きます。 実装 このアルゴリズムでは$O(log(|V|^2))$という計算量を持っています。最小のdを持つノードを探すのに時間がかかります。 しかし、ヒープ構造を使えばO((E+V)log(V))に減らせます。ヒープ構造で現時点での...
コメントを投稿
続きを読む

Discrete Fourier transform

Introduction 日本語 ver I will write about Discrete Fourier transform. Discrete Fourier transform is Abbreviated DFT. I am making pdf about Audio Signal Processing. I publish pdf at  github . However, I write tex in Japanese. I take a lecture about the signal processing. There is lecture at  thie page . I update this pdf.
コメントを投稿
続きを読む