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ロルの定理

Introduction

今回はロルの定理について書いていきます・
ロルの定理は平均値の定理の証明に使われる定理です。
平均値の定理についてはまた、今度書こうと思います。
ロルの定理の前に最大値原理というものを紹介しておきます。（後で証明に使います。）

最大値原理

fが閉区間上で連続な関数
\(\implies\)
fは最大値を持つ（有限値）

証明

最大値原理の証明は難しいです。この投稿で書いてしまうのは大変なので、また、別の投稿で書きたいと思います。
Maximum Principle

ロルの定理

fは区間[a,b]で連続で、(a,b)で微分可能とします。
この時
\[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\]

証明

  • f(x) が定数関数の時、
    \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\]
  • f(x)が定数関数でない時、
\(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle
I proof \(f'(c)=0\)
f は\(x = c\)　で微分可能で、\(f(c) >= f(c+h)\).
よって
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0\]
よって　\[0 \leq \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} =f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c)=0\]
\(\exists t ~~s.t f(a)>f(t)\)　の時も同様です。

イメージ

enter image description here
\(f(3)=f(5)\)　の時、関数には折り返し地点が存在します。（出ないと戻ってこれない。）
この折り返し地点がcとなります。

結論

ロルの定理は平均値の定理に使われる定理です。
平均値の定理は別の投稿で紹介しようと思います。
Mean-Value Theorem

Reference

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