スキップしてメイン コンテンツに移動

Hessian Matrix

Introduction

Today, I will talk about Taylor expansion with Hessian matrix.
It is important for optimization to understand Taylor expansion with Hessian matrix. Especially, Machine learning has always situation about thinking optimization. Thus I will write it to save knowledge about Hessian matrix.

Overview

  • Definition of Hessian matrix
  • Expression Taylor expansion with vector
  • Optimality of the function
Definition of Hessian matrix
Assumption
f is a function which meets a condition as follows.
  • f output Real value after getting the n-dimensional vector.
    This vector is expressed as follows.
    \[x = [x_1,x_2,,,,x_n]\]
  • \(\forall x_i , i \in {1,2,,,n}\), f have twice partial differential

Definition Hessian matrix

Hessian matrix have \(\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} f(x) ~in~ ~element~ ~of~ (i,j)\)
Thus Hessian matrix is expressed following.
\[ H(f) = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^ 2}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & &\ldots \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_2^ 2} & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \\ \end{array} \right) \]

Expression Taylor expansion with vector

I put Taylor expansion until the quadratic terms.
\[f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) h + \frac{1}{2} h^T \nabla f(a) h + R_3\]
note that \(H=\nabla ^2 f\) is Hessian matrix.
Please check out the point that I put Taylor expansion until the quadratic terms
There is the reason. It is that I want to optimize f.

Optimality of the function

Definiteness

  • \(n \times n ~matrix~ A\) is positive definite
    \(\forall x \in ~n-dimentinal~ ~space~, z^T A z > 0\)
  • \(n \times n ~matrix~ A\) is negative definite
    \(\forall x \in ~n-dimentinal~ ~space~, z^T A z < 0\)
  • \(n \times n ~matrix~ A\) is positive semidefinite
    \(\forall x \in ~n-dimentinal~ ~space~, z^T A z => 0\)
  • \(n \times n ~matrix~ A\) is negative semidefinite
    \(\forall x \in ~n-dimentinal~ ~space~, z^T A z <= 0\)
\(z^T A z\) is called Quadratic form

Optimality

Now, of course, f deformed by Taylor expansion until the quadratic form is quadratic form.
Thus, We are able to judge Optimality of f.
  • if H(a)(Hessian matrix) is positive definite, f(a) is the minimum value.
  • if H(a)(Hessian matrix) is negative definite, f(a) is the maximum value.

Reference

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%BB%E8%A1%8C%E5%88%97
http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/optimization/resume10-1.pdf
http://www.dais.is.tohoku.ac.jp/~shioura/teaching/mp04/mp04-8.pdf
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2008.calculus-II/html.dir/node43.html
Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

K-means 理論編

Introduction English ver 今日はK-meansアルゴリズムの理論について書きます。 K-meansアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。 K-meansの実装の記事は カーネルK-meansの実装 を御覧ください。 この記事はカーネルK-menasの実装についての記事ですが、通常のK-meansの実装も行っています。カーネルK-meansについてはまた、今度別の記事で紹介したいと思います。 概要 1 of K 符号化法 プロトタイプ 歪み尺度 最適化 1 of K 符号化法 K-meansはK個のクラスについて分類することを考えます。 K-meansでは $x_n$がkのクラスに属していることを次のように表します。 ベクトル$r_n:1 \times K$ を $$r_n := (0,0,..,1,..,0)$$ このベクトルはk番目にのみ1を持ち、それ以外は0を要素に持つようなベクトルです。 こののような表現の仕方を1 of K符号化法と呼びます。 プロトタイプ K-meansではプロトタイプと呼ばれるベクトルを選びます。このベクトルは各クラスに一つあり、そのクラスの代表のようなベクトルです。 K-means ではそのようなベクトルは各クラスの平均ベクトルとなります。これは目的関数から自然と導かれます。 歪み尺度 プロトタイプベクトルを $\mu_i ~\forall k \in K$とします。 この時、k-meansの目的関数は次のようになります。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 $r_{nk}$ は$r_n$のk番目の要素です。 この目的関数について少し説明をします。$r_{n}$は$x_n$が属しているクラスのラベルの場所だけ1で他は０であるので、 $$J = \sum_{n=1}^{N} ||x_n - \mu_{x_n}||$$ ここで、$\mu_{k_n}$は$x_n$が属しているクラスのプロトタイプです。 よって、 $$J = ||x_1 - \mu_{x_1}|| + ||x_2 -\mu_{x_2}|| + ...
コメントを投稿
続きを読む

カーネルk-meansの実装

Introduction   English ver 今日はカーネルk-meansの実装をしました。k-menasアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。僕がカーネルk-meansを実装しようと思ったのには一つ理由があります。それは僕の友人がk-meansのプレゼンを、僕がカーネルのプレゼンをしていた時に、k-meansにカーネルを適応できないかと思ったからです。そこで、カーネルk-meansについての論文を探しました。 ここのpdf を主に参考にさせていただきました。うまくカーネルk-meansを実装できたと思います。ここでは、普通のk-meansとカーネルを用いた,kernel k-meansについての実装の結果を紹介します。 また、この記事では実装結果のみ書きますが、理論のほうも別の記事で書くつもりです。書き終えたらリンクをこの記事にも貼っておきます。 #  理論編書きました。K-means 理論編 概要 dataset   ちょっとだけ理論の説明  k-means    kernel k-means   Dataset   English ver 今回使うのは二つのデータセットです。一つ目は、普通のk-means用のデータです。二つ目はkernel k-means用のデータセットです。 一つ目のデータは、三つのグループで構成されており、次元は2で、サンプル数は300です。以下のような分布になっています。 二つ目のデータは二つのグループで構成されており、次元は2でサンプル数は300です。   this page にデータセットを作ったコードを載せています。 ちょっとだけ理論の説明 k-meansとは、k-平均法とも呼ばれています。初めに、適当なクラスに分け、各クラスの中で平均となるベクトルを求めます。そして、各データに対して、すべての平均ベクトルとの距離を求めます。そして、最小となる距離になるクラスに改めて、そのデータをクラスタリングします。そして、新たに得られたクラスの中でそれぞれ平均ベクトルを求め、これを繰り返し、平均ベクトルが動かな...
コメントを投稿
続きを読む

Bayes' theorem

Introduction sorry, this page is Japanese only.   今回はベイズの定理について書こうと思います。 ベイズの定理とは、イギリスのトーマス・ベイズによって発見された、条件付き確率に関する定理です。現在のベイズ推定で用いられる重要な定理です。どのような定理かを解説していこうと思います。 ベイズの定理 ベイズの定理とは 確率P(B|A):事象Aが起こった後での事象Bの確率（事後確率） 確率P(B):事象Aが起こる前の事象Bの確率（事前確率） とするとき以下が成り立つことを示しています。 $$P(B|A) = \frac{P(A|B) P(B)}{P(A)}$$ 例 例えば、次のように事象A、事象Bwo定義します。 事象A:あるYoutuberが動画を投稿したとき、再生回数が100万回を超える 事象B:あるYoutuberがお金を50万円以上使う動画を投稿する この時確率P(A|B)、つまり50万円以上を使った動画が再生回数100万回を超える確率は、youtube内の50万円以上使っている動画を根こそぎ集め、その再生回数を得ることによって推定できそうです。では確率P(A|B)がわかった時、確率P(B|A)もわかる。これがベイズの定理の強みです。（当然確率P(A)とP(B)がわかっている必要はあります。） 確率P(B|A)とはあるYoutuberの動画が再生回数100万回を超えたとき、その同がで50万円以上使っている確率となります。これがわかれば、100万回動画が再生される原因は本当に50万円以上お金を使うことなのかがわかります。 確率P(A|B)が低い時を考えてみましょう。 つまり、50万円以上使った動画は再生回数100万回を超える確率は高い。しかし、100万回再生回数を突破したとき、その動画が50万円以上使っている可能性は低い。この状況はベイズの定理の式を考えいると理解しやすいです。 ベイズの定理の式を見てみると、P(B|A)は低く、P(A|B)が高いということは、確率P(A)が著しく高い。もしくは、P(B)が著しく低い。この二つがあげられます。 つまり、あるYouruberが100万回再生を突破する確率がかなり、高い。もしくは、あるYoutuber...
コメントを投稿
続きを読む