スキップしてメイン コンテンツに移動

dijkstra method

Introduction

Today, I will write about the dijkstra method. This method is algorithm which find the shortest distance. The map is expressed by graph. If you never see this page, look at its page. This page explain the heap structure and definition of graph. The dijkstra method used heap structure, Because heap structure reduce the amout of calculation of dijkstra method.
I use this slide to explain dijkstra.

Overview

  • Algorithm
  • Implementation

Algorithm

This algorithm is 
  1. Decide start node, and this node named A.
  2. Allocate $d=\infty$ for each node, but d=0 for start node.
  3. Adjacent node of A named adj_list.
  4.  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj.
  5. Remove A from graph network.
  6. Find node which have the smallest d and it named A, and if network have node, back to 4.

I explain this algorithm by drawing.

 I explain algorithm by using this graph.
 Fistly, Decede start node and allocate $d=\infty$ for each node.

 Begin from node A. If d of B is smaller than d of A + weight(2), update d of B. Next, If d of C is smaller than d of A + weight(2), update d of C.

 Next remove A from graph network.
 Next, Begin from B. I do the same thing .


The dijkstra algorithm repeat this operation graph network do not have node.


Implementation

This algorithm take $O(log(|V|^2))$. Because this algorithm take time to search the node which have d of shortest distance.
However the calculation time is reduced to O((E+V)log(V)) by heap structure. Select node which have d of shortest distance by picking up node from heap structure.


I will implement the dijkstra by Python 3.
This implementation is published this github page.

I make random 100 node and , number selected by random from 0~30 edge.



Result...



This gif is expressed to update d of each node.












Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

ヘッセ行列

Introduction English ver 今日は、ヘッセ行列を用いたテイラー展開について書こうと思います。 これは最適化を勉強するにあたって、とても大事になってくるので自分でまとめて残しておくことにしました。とくに、機械学習では最適化を必ず行うため、このブログのタイトルにもマッチした内容だと思います。 . 概要 ヘッセ行列の定義 ベクトルを用いたテイラー展開 関数の最適性 ヘッセ行列の定義 仮定 f は次のような条件を満たす関数です。. f はn次元ベクトルから実数値を出力します。 このベクトルは次のように表せます。 \[x = [x_1,x_2,,,,x_n]\] \(\forall x_i , i \in {1,2,,,n}\), f は二回偏微分可能です。 定義 ヘッセ行列は \(\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}を (i,j)要素に持ちます。\) よってヘッセ行列は次のように表せます。 \[ H(f) = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^ 2}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & &\ldots \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_2^ 2} & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \ldo...
コメントを投稿
続きを読む

Rolle’s theorem

Introduction 日本語 ver This post is written Rolle’s theorem. The mean-value theorem is proved by Rolle’s theorem. I will write Mean-value theorem at a later. I introduce Maximum principle because proving Rolle’s theorem need Maximum principle. Maximum principle It is very easy. f is continuous function on bounded closed interval.\(\implies\)** f have max value.** Proof This proof is difficult. I write this proof in other posts. Maximum Principle Rolle’s theorem f is continuous function on [a,b] and differentiable function on (a,b). \[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\] Proof f(x) is constant function \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\] else when \(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle I proof \(f'(c)=0\) f is differentiable on \(x = c\) and \(f(c) >= f(c+h)\). Thus \[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\] \[f'(c) = \lim...
コメントを投稿
続きを読む

Pythonでグラフ理論

Introduction English ver 今日はnetworkxというpythonのモジュールについて書きます。 グラフ理論の定義などの情報は ここ の記事に書いてあります。 この記事ではグラフ理論の中身については扱いませんが、Pythonでのnetworkxというモジュールについてメモをしておきます。 Networkx Python3にはnetworkxはすでに入っています。 Python2の方はpipを使ってinstallしてください。コマンドラインで以下のコマンドを実行します。 pip install networkx ではNetworkxを使ってグラフを作っていきます。 初めにimportをしてインスタンスを作っていきます。 import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt G = nx.Graph() 次にグラフにノード（頂点）とエッジ（枝）を入れていきます。 G.add_node(1) # add Multiple nodes G.add_nodes_from([2,3,4]) G.add_edge(1,2) # add Multiple edges G.add_edges_from([(3,4),(1,2),(4,6)]) ではこのGのグラフを描画していきましょう。 以下のコードで描画できます。 nx.draw(G) plt.show() Networkxはたくさんの関数を持っています。 また、随時追記していきたいと思います。 Reference https://qiita.com/kzm4269/items/081ff2fdb8a6b0a6112f http://akiniwa.hatenablog.jp/entry/2013/05/12/012459
2 件のコメント
続きを読む