スキップしてメイン コンテンツに移動

dijkstra method

Introduction

Today, I will write about the dijkstra method. This method is algorithm which find the shortest distance. The map is expressed by graph. If you never see this page, look at its page. This page explain the heap structure and definition of graph. The dijkstra method used heap structure, Because heap structure reduce the amout of calculation of dijkstra method.
I use this slide to explain dijkstra.

Overview

  • Algorithm
  • Implementation

Algorithm

This algorithm is 
  1. Decide start node, and this node named A.
  2. Allocate $d=\infty$ for each node, but d=0 for start node.
  3. Adjacent node of A named adj_list.
  4.  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj.
  5. Remove A from graph network.
  6. Find node which have the smallest d and it named A, and if network have node, back to 4.

I explain this algorithm by drawing.

 I explain algorithm by using this graph.
 Fistly, Decede start node and allocate $d=\infty$ for each node.

 Begin from node A. If d of B is smaller than d of A + weight(2), update d of B. Next, If d of C is smaller than d of A + weight(2), update d of C.

 Next remove A from graph network.
 Next, Begin from B. I do the same thing .


The dijkstra algorithm repeat this operation graph network do not have node.


Implementation

This algorithm take $O(log(|V|^2))$. Because this algorithm take time to search the node which have d of shortest distance.
However the calculation time is reduced to O((E+V)log(V)) by heap structure. Select node which have d of shortest distance by picking up node from heap structure.


I will implement the dijkstra by Python 3.
This implementation is published this github page.

I make random 100 node and , number selected by random from 0~30 edge.



Result...



This gif is expressed to update d of each node.












Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

カーネルK-means 理論編

Introduction English ver 今日は、カーネルK-meansの理論について書きます。カーネルK-meansは通常のK-meansの欠点を補うことができます。通常のK-meansの欠点とカーネルK-meansの強みも説明します。もし、まだ御覧になられていなければ、通常の K-means 理論編 の記事を見ていただけるとよいのではないかと思います。 カーネルK-meansの実装編 も併せてご覧ください。 概要 K-meansの弱点 カーネルトリック カーネルK-means アルゴリズム K-meansの弱点 例えば、次のようなデータを用意します。 このデータはK-meansによってうまく分類することはできません。なぜなら通常のK-meansでは、データとプロトタイプのユークリッド距離に依存しているからです。そのため、このような円状に分布しているデータはうまく分類することができません。 プロトタイプとはそれぞれのクラスにあり、そのクラスを代表するようなもののことです。K-meansでは各クラスの平均ベクトルとなります。それゆえ、以下のような分類になってしまいます。 このようなデータではK-meansはうまくいきません。 K-meansで分類できるデータセットは次のように各クラスで固まっている必要があります。 カーネルK-meansはK-meansの弱点を補います。 カーネルトリック 初めに、カーネルトリックを説明します。 線形分離できないようなデータ$X$を例えば次のように線形分離できるように$\phi(x)$に送る写像$\phi$を考えます。 カーネルは次のように定義されます。 $$K(x,y) = \phi(x)^T \phi(y)$$ $\phi$を具体的に計算することは難しいですが、$K(x,y)$を計算することなら簡単です。 この手法をカーネルトリックと呼ばれます。 カーネルK means K-meansの目的関数を復習しておきます。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 プロトタイプは$\mu_i ~\forall k \in K$としま...
コメントを投稿
続きを読む

変分法の可視化

Introduction English ver 今日は、変分法の可視化を実装しました。変分法は、汎関数を最小化させるために使われます。汎関数とは、関数の関数のようなものです。変分法については、  [1] , [2] , [3] , [5] ,  [6] などを参考にしてください。 概要 汎関数 実装 可視化 汎関数 今回は、次のような汎関数を使います。 $$F(x) = \sqrt{1+(\frac{du}{dx}(x))^2}$$ $$l(u) = \int_{0}^{1} \sqrt{1+(\frac{du}{dx}(x))^2} dx$$ l(u)はu(x)という曲線の長さです。.  $u(0)=a$ and $u(1)=b$という制約のもと、$l(u)$を最小化したいといます。 最適な$l(u)$は $$u(x) = (b-a)x+a$$ となります。 (0,a) から (1,b)への直線になっているのがわかります。 これは、$l(u)$は$u$の曲線の長さなので、これを最小化するためには直線が一番であることが直観的にわかります。 変分法での導出は、 [5] を参考にしてください。 実装 変分法における最適な曲線とそうでない曲線の違いを可視化する実装をしました。 $u_A$を $$u_A = (b-a)x+a + A sin(8t)$$ とします。 $A sin(8t)$ は$u$から話す役割を持ちます。. $A \in [0,0.5]$であり、もし$A=0$であれば、$u_A=u$です。 github でcodeを公開しています。 可視化 上側の画像は$u_A(x)$を表しています。下側の画像は$l(u_A)$の値を表しています。 $u_A(x)$が$u$に近づくほど、$l(u_A)$が小さくなることがわかります。 Reference [1] http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/optimization/resume10-4.pdf [2] http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/brach...
コメントを投稿
続きを読む

ダイクストラ法

Introduction English ver 今日は、ダイクストラ法について書きます。ダイクストラ法とは最短距離を求めるアルゴリズムです。地図はグラフで表されます。もし、まだ this page を見ていない方は先にこちらをご覧ください。今回はこの記事を前提としています。このページでは、グラフの定義と、ヒープ構造について書いています。ダイクストラ法ではヒープ構造を使って、かなりの計算量を落とします。 この スライド はダイクストラ法を説明したスライドです。 Overview アルゴリズム 実装 アルゴリズム このアルゴリズムは スタート始点のノードを決める。そして、それをAと名付ける。 各ノードに$d=\infty$を割り当てる。ただし、スタート地点はd=0 Aの隣接ノードのリストをadj_listと名付ける。  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. グラフnetworkからAを取り除く グラフnetworkの中で最初のdを持っているノードをAとし、4に戻る。 となっています。 このアルゴリズムを図を用いて説明します。  このグラフを使って説明します。  初めに、スタート地点を決めます。そして、各ノードに$d=\infty$を割り当てます。  Aから始まります。Aの隣接ノードであるBのdを更新します。もし、現在のBよりもAのdとA->Bへの重みを足したもののほうが小さいならdをその値に更新します。同じようにCnのdを更新します。 次にAを取り除きます。  次はBから始まります。Aと同じことをやります。 このダイクストラ法では今のような操作をグラフの全てのノードに×がつくまで続きます。 実装 このアルゴリズムでは$O(log(|V|^2))$という計算量を持っています。最小のdを持つノードを探すのに時間がかかります。 しかし、ヒープ構造を使えばO((E+V)log(V))に減らせます。ヒープ構造で現時点での...
コメントを投稿
続きを読む