スキップしてメイン コンテンツに移動

離散フーリエ変換

Introduction


今日は離散フーリエ変換について書きます。

現在、シグナル解析についてのpdfを作成中です。このpdfはgithubで公開中です。

シグナル解析は、courseraのレクチャーで勉強中です。
ここにリンクを貼っておきます。

pdfは随時更新中です。


Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

Rolle’s theorem

Introduction 日本語 ver This post is written Rolle’s theorem. The mean-value theorem is proved by Rolle’s theorem. I will write Mean-value theorem at a later. I introduce Maximum principle because proving Rolle’s theorem need Maximum principle. Maximum principle It is very easy. f is continuous function on bounded closed interval.\(\implies\)** f have max value.** Proof This proof is difficult. I write this proof in other posts. Maximum Principle Rolle’s theorem f is continuous function on [a,b] and differentiable function on (a,b). \[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\] Proof f(x) is constant function \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\] else when \(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle I proof \(f'(c)=0\) f is differentiable on \(x = c\) and \(f(c) >= f(c+h)\). Thus \[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\] \[f'(c) = \lim...
コメントを投稿
続きを読む

ヘッセ行列

Introduction English ver 今日は、ヘッセ行列を用いたテイラー展開について書こうと思います。 これは最適化を勉強するにあたって、とても大事になってくるので自分でまとめて残しておくことにしました。とくに、機械学習では最適化を必ず行うため、このブログのタイトルにもマッチした内容だと思います。 . 概要 ヘッセ行列の定義 ベクトルを用いたテイラー展開 関数の最適性 ヘッセ行列の定義 仮定 f は次のような条件を満たす関数です。. f はn次元ベクトルから実数値を出力します。 このベクトルは次のように表せます。 \[x = [x_1,x_2,,,,x_n]\] \(\forall x_i , i \in {1,2,,,n}\), f は二回偏微分可能です。 定義 ヘッセ行列は \(\frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j}を (i,j)要素に持ちます。\) よってヘッセ行列は次のように表せます。 \[ H(f) = \left( \begin{array}{cccc} \frac{\partial^ 2}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & &\ldots \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_2^ 2} & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \frac{\partial^ 2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \ldo...
コメントを投稿
続きを読む

MAP推定

Introduction English ver 今日はMAP推定（事後確率最大化法）について書きました。MAP推定ではベイズの定理を使います。データが少ないとき、最尤推定の結果をあまり信用できない話は、最尤推定の時に書きました。この時、MAP推定では自分の事前に持っている情報を取り入れることができます。 概要 ベイズの定理 MAP推定 共役分布 MAP推定の例 ベイズの定理 ベイズの定理は $$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ です。 ただし、 $P(A|B)$ はBが起こった時のAの起こる確率です。 詳しくは  http://takutori.blogspot.com/2018/04/bayes-theorem.html  を見てください。 Map推定 MAP推定ではベイズの定理を使います。MAP推定は事後確率が最大になるようなパラメータを選びます。 いま、$x_1,x_2,...,x_n$というデータを$\theta$というパラメータを持つ分布から得られたとする。この時$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)$を求めたい。 ここで、ベイズの定理を使う。 $$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n) = \frac{P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ ここで、$P(\theta)$は$\theta$の事前分布である。 $x_1,x_2,...,x_n$はそれぞれ独立であるので、 $$P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) = \Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta)$$. よって、マップ推定は $$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta} \frac{\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ となる。 $P(x_1,x_2,...,x_n)$という値は$\theta$には依存しない。よって、定数であり、最適化に定数は関係ないので、排除すると、MAP推定は次のようになる。 $$\th...
コメントを投稿
続きを読む