スキップしてメイン コンテンツに移動

カーネルk-meansの実装

Introduction  

今日はカーネルk-meansの実装をしました。k-menasアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。僕がカーネルk-meansを実装しようと思ったのには一つ理由があります。それは僕の友人がk-meansのプレゼンを、僕がカーネルのプレゼンをしていた時に、k-meansにカーネルを適応できないかと思ったからです。そこで、カーネルk-meansについての論文を探しました。ここのpdfを主に参考にさせていただきました。うまくカーネルk-meansを実装できたと思います。ここでは、普通のk-meansとカーネルを用いた,kernel k-meansについての実装の結果を紹介します。

また、この記事では実装結果のみ書きますが、理論のほうも別の記事で書くつもりです。書き終えたらリンクをこの記事にも貼っておきます。

# 理論編書きました。K-means 理論編

概要
  • dataset  
  • ちょっとだけ理論の説明
  •  k-means  
  •  kernel k-means  


Dataset  

今回使うのは二つのデータセットです。一つ目は、普通のk-means用のデータです。二つ目はkernel k-means用のデータセットです。

一つ目のデータは、三つのグループで構成されており、次元は2で、サンプル数は300です。以下のような分布になっています。

二つ目のデータは二つのグループで構成されており、次元は2でサンプル数は300です。

 this pageにデータセットを作ったコードを載せています。

ちょっとだけ理論の説明
k-meansとは、k-平均法とも呼ばれています。初めに、適当なクラスに分け、各クラスの中で平均となるベクトルを求めます。そして、各データに対して、すべての平均ベクトルとの距離を求めます。そして、最小となる距離になるクラスに改めて、そのデータをクラスタリングします。そして、新たに得られたクラスの中でそれぞれ平均ベクトルを求め、これを繰り返し、平均ベクトルが動かなくなるまで続けます。

k-means  

初めに普通のk-meansを実装しました。テスト用として、一つ目のデータセットを使いました。
結果はうまくいっていると思います。


centroidとは重心ベクトルのことで、各クラスの平均ベクトルになります。

しかしながら、k-meansアルゴリズムには様々な弱点があります。その一つは以下の画像を見てもらえればすぐにわかると思います。



この画像は、二つ目のデータセットにk-menasアルゴリズムを適応した結果です。
普通のk-meansではデータ空間で平均ベクトルとデータ点とのユークリッド距離を求めるため、このようにうまくいきません。

Kernel k-means

先ほどの例により、k-meansアルゴリズムには、うまくいかない点がありました。しかし、これをカーネルトリックを用いることでうまく解決できます
その結果がこちらです。

このクラスタリングは完璧ですね。

CODE
こちらにkernel k-means含め、すべてのコードを載せています。

git_Kmeans_def.pyではk-meansに必要な様々な関数を書いています。
git_Kemans_main.pyではk-meansを実行するためのコードを書いています。いわゆるメインファイルです。当然 if __name__ == '__main__':が入っています。

git_kernel_Kmeans_def.pyではkernel k-meansに必要な様々な関数を書いています。
git_kernel_Kemans_main.pyではkernel k-meansを実行するためのコードを書いています。いわゆるメインファイルです。当然 if __name__ == '__main__':が入っています。

Reference  

http://www.cs.utexas.edu/users/inderjit/public_papers/kdd_spectral_kernelkmeans.pdf
https://sites.google.com/site/dataclusteringalgorithms/kernel-k-means-clustering-algorithm
Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

カーネルK-means 理論編

Introduction English ver 今日は、カーネルK-meansの理論について書きます。カーネルK-meansは通常のK-meansの欠点を補うことができます。通常のK-meansの欠点とカーネルK-meansの強みも説明します。もし、まだ御覧になられていなければ、通常の K-means 理論編 の記事を見ていただけるとよいのではないかと思います。 カーネルK-meansの実装編 も併せてご覧ください。 概要 K-meansの弱点 カーネルトリック カーネルK-means アルゴリズム K-meansの弱点 例えば、次のようなデータを用意します。 このデータはK-meansによってうまく分類することはできません。なぜなら通常のK-meansでは、データとプロトタイプのユークリッド距離に依存しているからです。そのため、このような円状に分布しているデータはうまく分類することができません。 プロトタイプとはそれぞれのクラスにあり、そのクラスを代表するようなもののことです。K-meansでは各クラスの平均ベクトルとなります。それゆえ、以下のような分類になってしまいます。 このようなデータではK-meansはうまくいきません。 K-meansで分類できるデータセットは次のように各クラスで固まっている必要があります。 カーネルK-meansはK-meansの弱点を補います。 カーネルトリック 初めに、カーネルトリックを説明します。 線形分離できないようなデータ$X$を例えば次のように線形分離できるように$\phi(x)$に送る写像$\phi$を考えます。 カーネルは次のように定義されます。 $$K(x,y) = \phi(x)^T \phi(y)$$ $\phi$を具体的に計算することは難しいですが、$K(x,y)$を計算することなら簡単です。 この手法をカーネルトリックと呼ばれます。 カーネルK means K-meansの目的関数を復習しておきます。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 プロトタイプは$\mu_i ~\forall k \in K$としま...
コメントを投稿
続きを読む

dijkstra method

Introduction 日本語 ver Today, I will write about the dijkstra method. This method is algorithm which find the shortest distance. The map is expressed by graph. If you never see  this page , look at its page. This page explain the heap structure and definition of graph. The dijkstra method used heap structure, Because heap structure reduce the amout of calculation of dijkstra method. I use  this slide  to explain dijkstra. Overview Algorithm Implementation Algorithm This algorithm is  Decide start node, and this node named A. Allocate $d=\infty$ for each node, but d=0 for start node. Adjacent node of A named adj_list.  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. Remove A from graph network. Find node which have the smallest d and it named A, and if network have node, back to 4. I explain this algorithm by drawing.  I explain algorithm by using this graph.  Fis...
コメントを投稿
続きを読む

MAP推定

Introduction English ver 今日はMAP推定（事後確率最大化法）について書きました。MAP推定ではベイズの定理を使います。データが少ないとき、最尤推定の結果をあまり信用できない話は、最尤推定の時に書きました。この時、MAP推定では自分の事前に持っている情報を取り入れることができます。 概要 ベイズの定理 MAP推定 共役分布 MAP推定の例 ベイズの定理 ベイズの定理は $$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ です。 ただし、 $P(A|B)$ はBが起こった時のAの起こる確率です。 詳しくは  http://takutori.blogspot.com/2018/04/bayes-theorem.html  を見てください。 Map推定 MAP推定ではベイズの定理を使います。MAP推定は事後確率が最大になるようなパラメータを選びます。 いま、$x_1,x_2,...,x_n$というデータを$\theta$というパラメータを持つ分布から得られたとする。この時$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)$を求めたい。 ここで、ベイズの定理を使う。 $$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n) = \frac{P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ ここで、$P(\theta)$は$\theta$の事前分布である。 $x_1,x_2,...,x_n$はそれぞれ独立であるので、 $$P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) = \Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta)$$. よって、マップ推定は $$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta} \frac{\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ となる。 $P(x_1,x_2,...,x_n)$という値は$\theta$には依存しない。よって、定数であり、最適化に定数は関係ないので、排除すると、MAP推定は次のようになる。 $$\th...
コメントを投稿
続きを読む