スキップしてメイン コンテンツに移動

Rolle’s theorem

Introduction

This post is written Rolle’s theorem.
The mean-value theorem is proved by Rolle’s theorem.
I will write Mean-value theorem at a later.
I introduce Maximum principle because proving Rolle’s theorem need Maximum principle.

Maximum principle

It is very easy.
f is continuous function on bounded closed interval.\(\implies\)**
f have max value.**

Proof

This proof is difficult.
I write this proof in other posts.
Maximum Principle

Rolle’s theorem

f is continuous function on [a,b] and differentiable function on (a,b).
\[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\]

Proof

  • f(x) is constant function
    \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\]
  • else
when \(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle
I proof \(f'(c)=0\)
f is differentiable on \(x = c\) and \(f(c) >= f(c+h)\).
Thus
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0\]
Therefore \[0 \leq \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} =f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c)=0\]
when\(\exists t ~~s.t f(a)>f(t)\), proof is same.

Image

enter image description here
when \(f(3)=f(5)\) , function have to turn.
This Turning point is c!!

Conclusion

Rolle’s theorem is used proof of the mean-value theorem.
I write mean-value theorem on other posts.
Mean-Value Theorem

Reference

https://mathtrain.jp/rolle
Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

ダイクストラ法

Introduction English ver 今日は、ダイクストラ法について書きます。ダイクストラ法とは最短距離を求めるアルゴリズムです。地図はグラフで表されます。もし、まだ this page を見ていない方は先にこちらをご覧ください。今回はこの記事を前提としています。このページでは、グラフの定義と、ヒープ構造について書いています。ダイクストラ法ではヒープ構造を使って、かなりの計算量を落とします。 この スライド はダイクストラ法を説明したスライドです。 Overview アルゴリズム 実装 アルゴリズム このアルゴリズムは スタート始点のノードを決める。そして、それをAと名付ける。 各ノードに$d=\infty$を割り当てる。ただし、スタート地点はd=0 Aの隣接ノードのリストをadj_listと名付ける。  For adj in adj_list:  If d of adj > d of A + weight to adj -> d = A + weight to adj. グラフnetworkからAを取り除く グラフnetworkの中で最初のdを持っているノードをAとし、4に戻る。 となっています。 このアルゴリズムを図を用いて説明します。  このグラフを使って説明します。  初めに、スタート地点を決めます。そして、各ノードに$d=\infty$を割り当てます。  Aから始まります。Aの隣接ノードであるBのdを更新します。もし、現在のBよりもAのdとA->Bへの重みを足したもののほうが小さいならdをその値に更新します。同じようにCnのdを更新します。 次にAを取り除きます。  次はBから始まります。Aと同じことをやります。 このダイクストラ法では今のような操作をグラフの全てのノードに×がつくまで続きます。 実装 このアルゴリズムでは$O(log(|V|^2))$という計算量を持っています。最小のdを持つノードを探すのに時間がかかります。 しかし、ヒープ構造を使えばO((E+V)log(V))に減らせます。ヒープ構造で現時点での...
コメントを投稿
続きを読む

Implementation of Robbins monro

Robbins monro の実装 sorry, this page is Japanese only.   今回はRobbins monro の実装をしてみました。 Robbins monroは確率勾配降下法の学習率を入りテーション回数の逆数で割っていくものです。 使っているprogram言語はpython 3です。osはwindowsです。(macほしい...) アルゴリズム 確率勾配降下方とは目的関数の最適解を求めるアルゴリズムです。目的関数をf(X)とすると、手順は以下のようになっています。 初期学習率$n_0$を決めます。訓練データDを用意します。この訓練データは複数の初期値の集まりです。 訓練データから一つ初期値をランダムに取り出し、これを$x_0$とし、最初の予測値とします。 次の式に現在の予測値$x_0$を代入し、新たな予測値$x_{n+1}$を得ます。$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{n_0}{n} grad f(X_n)$$ 収束して入れば4へ、収束していなければ2で得られた値$x{n+1}$を新たに$x_n$としてもう一度2を行う。 訓練データを一周していなければ2へ、一周していれば各初期値から得られた解の中から目的関数を最も小さくするものを選ぶ。　　 実装例 以下の目的関数を最小化させてみましょう。 $$f(x,y) = (x-2)^2 + (y-3)^2 $$ コマンドラインでpythonを実行していきます。 予想通り、（２，３）という解を導き出してくれました。目的関数が簡単だったので、初期値をどの値でとってもばっちり正解にたどり着いてくれました。 CODE 以下にRobbins monroの関数だけ置いておきます。 こちら にすべてのコードを載せています。 def Robbins_monro(function,grad,number_variable_gradient): init_learning_rate = 1.5 stepsize = 1000 init_value = np.array([range(-1000,1020,20) for i in range(number_v...
コメントを投稿
続きを読む

Discrete Fourier transform

Introduction 日本語 ver I will write about Discrete Fourier transform. Discrete Fourier transform is Abbreviated DFT. I am making pdf about Audio Signal Processing. I publish pdf at  github . However, I write tex in Japanese. I take a lecture about the signal processing. There is lecture at  thie page . I update this pdf.
コメントを投稿
続きを読む