スキップしてメイン コンテンツに移動

Rolle’s theorem

Introduction

This post is written Rolle’s theorem.
The mean-value theorem is proved by Rolle’s theorem.
I will write Mean-value theorem at a later.
I introduce Maximum principle because proving Rolle’s theorem need Maximum principle.

Maximum principle

It is very easy.
f is continuous function on bounded closed interval.\(\implies\)**
f have max value.**

Proof

This proof is difficult.
I write this proof in other posts.
Maximum Principle

Rolle’s theorem

f is continuous function on [a,b] and differentiable function on (a,b).
\[f(a) = f(b) \implies \exists ~~c ~~s.t~~ f'(c) = 0 , a<c<b\]

Proof

  • f(x) is constant function
    \[\forall c \in (a,b) , f'(c) = 0\]
  • else
when \(\exists t ~~s.t~~f(a) < f(t)\), \(\exists c ~~s.t~~ \max f(x) = f(c)\) by Maximum principle
I proof \(f'(c)=0\)
f is differentiable on \(x = c\) and \(f(c) >= f(c+h)\).
Thus
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c) = \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \geq 0\]
Therefore \[0 \leq \lim_{h \rightarrow -0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} =f'(c) = \lim_{h \rightarrow +0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h} \leq 0\]
\[f'(c)=0\]
when\(\exists t ~~s.t f(a)>f(t)\), proof is same.

Image

enter image description here
when \(f(3)=f(5)\) , function have to turn.
This Turning point is c!!

Conclusion

Rolle’s theorem is used proof of the mean-value theorem.
I write mean-value theorem on other posts.
Mean-Value Theorem

Reference

https://mathtrain.jp/rolle
Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

Theorem of K-means

Introduction 日本語 ver Today, I will write about the theorem of K-means algorithm. K-means algorithm is a method to do clustering about K of class. The post of implement K-means is Implement kernel K-means This post is written about kernel K-means. The kernel K-means is the method which covers the weak point of K-means. I will explain kernel K-means another post. Overview 1 of K coding scheme prototype vector Distortion measure Computing 1 of K coding scheme K-means algorithm is clustering K of class. Now, K-means algorithm expresses that $x_n$ be belong to k like as follows. Let vector $r_n:1 \times K$ is $$r_n := (0,0,..,1,..,0)$$ this vector have 1 in element of k'th and have 0 in else. This expression is called 1 of K coding scheme. Prototype vector K-means algorithm chooses vector which called a prototype. this vector has represented by the cluster. K-means algorithm is regard mean vector as representative of the cluster. I...
コメントを投稿
続きを読む

Thorem of SVM part 2

Introduction 日本語 ver This post is written about theorem of SVM. This post is part 2. Part 1 is written about deriving the objective function. I will write about dual problem. The objective function which deriving in Part 1 is called the main problem. Typically, We optimize not the main problem, but the dual problem. I will write about deriving the dual problem from the main problem. If you until look up part 1, please look up Theorem of SVM part 1 . I implement SVM. It post is Implement linear SVM Implement kernel SVM Overview Main problem Dual problem  Lagurange function maximize L about dual variable, minimize L about primal variable minimize L about primal variable, maximize L about dual variable. Main problem I will review the main problem in Part 1. $$\min_{w,b} \frac{1}{2}||W||^2 + C\sum_{i \in N} \epsilon_i$$ $$~~s.t~~ \forall i \in N, y_i (w^T \phi(x_i) + b) \geq 1 - \epsilon_i ,~~~, \forall i \in N~\epsilon \geq 0$$ This problem is called s...
コメントを投稿
続きを読む

K-means 理論編

Introduction English ver 今日はK-meansアルゴリズムの理論について書きます。 K-meansアルゴリズムはクラスタリングのためのアルゴリズムです。 K-meansの実装の記事は カーネルK-meansの実装 を御覧ください。 この記事はカーネルK-menasの実装についての記事ですが、通常のK-meansの実装も行っています。カーネルK-meansについてはまた、今度別の記事で紹介したいと思います。 概要 1 of K 符号化法 プロトタイプ 歪み尺度 最適化 1 of K 符号化法 K-meansはK個のクラスについて分類することを考えます。 K-meansでは $x_n$がkのクラスに属していることを次のように表します。 ベクトル$r_n:1 \times K$ を $$r_n := (0,0,..,1,..,0)$$ このベクトルはk番目にのみ1を持ち、それ以外は0を要素に持つようなベクトルです。 こののような表現の仕方を1 of K符号化法と呼びます。 プロトタイプ K-meansではプロトタイプと呼ばれるベクトルを選びます。このベクトルは各クラスに一つあり、そのクラスの代表のようなベクトルです。 K-means ではそのようなベクトルは各クラスの平均ベクトルとなります。これは目的関数から自然と導かれます。 歪み尺度 プロトタイプベクトルを $\mu_i ~\forall k \in K$とします。 この時、k-meansの目的関数は次のようになります。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 $r_{nk}$ は$r_n$のk番目の要素です。 この目的関数について少し説明をします。$r_{n}$は$x_n$が属しているクラスのラベルの場所だけ1で他は０であるので、 $$J = \sum_{n=1}^{N} ||x_n - \mu_{x_n}||$$ ここで、$\mu_{k_n}$は$x_n$が属しているクラスのプロトタイプです。 よって、 $$J = ||x_1 - \mu_{x_1}|| + ||x_2 -\mu_{x_2}|| + ...
コメントを投稿
続きを読む