スキップしてメイン コンテンツに移動

MAP estimation

Introduction

Today, I will explain MAP estimation(maximum a posteriori estimation).
MAP estimation is used Bayes' thorem. If sample data is few, we can not belive value by Maximum likelihood estimation. Then, MAP estimation is enable to include our sense. 

Overveiw

  • Bayes' theorem
  • MAP estimation
  • Conjugate distribution



Bayes' theorem 
Bayes' theorem is

$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$

$P(A|B)$ is Probability when B occur.

Please go on http://takutori.blogspot.com/2018/04/bayes-theorem.html to know detail of Bayes' theorem.

Map estimation
Map estimation is used Bayes' theorem. Map estimation estimate parameter of population by maximuzing posterior probability.

Now, suppoce we get data $x_1,x_2,...,x_n$ from population which have parameter $\theta$. Then, we want to $P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)$.

Here, we use Bayes' theorem.
$$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n) = \frac{P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$

here, $P(\theta)$ is Prior distribution of $\theta$.

Because $x_1,x_2,...,x_n$ is indpendence each other,
$$P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) = \Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta)$$.

Therefore, MAP estimation is
$$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta} \frac{\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$
$P(x_1,x_2,...,x_n)$ do not dependent on $\theta$, Therefore MAP estimation is express as follows.

$$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta}\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)$$


Conjugate distribution
Conjugate distribution is a convenient distribution.  In general, 
The posterior distribution is consist of complex form. However, It is possible to simplify it by using conjugate distribution. When conjugate distribution is chosen for prior distribution, posterior distribution' from consistent prior distribution' from. Actually, I will calculate it next section. The famous conjugate distribution is


ABC
1
Conjugate distribution
likelihood
posterior distribution
2
betaBernoullibeta
3
betaBinomialbeta
4
GaussianGaussian(sigma is known)Gaussian
5
inverse gamma
Gaussian(sigma is unknown)
inverse gamma
6
gammaPoissongamma

.

Example
$$ Beta(\theta|a,b) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1} $$
This is beta distribution. When we MAP estimate beta distribution, prior distribution is gamma distribution.

$$ \Gamma(x) = \int_0^\infty u^{x-1}e^{-u}du $$

posterior distribution is 


$$P(\theta|D) = P(D|\theta)P(\theta)$$
$$=\Pi_{i=1}^{n}\theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}\frac{\Gamma(a+b}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1}$$


Because $x_i$is $1~or~0$,
$$ p(x=1,\theta)p(x=1,\theta)p(x=,\theta) =\theta\theta(1-\theta) $$.
Thus,
$$ \Pi_{i=1}^{n}\theta^{x_i}(1-\theta)^{x_i} = \theta^{\sum_{i=1}^{n}x_i}(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)} $$

$$P(\theta|D) = \theta^{\sum_{i=1}^{n}x_i}(1-\theta)^{\sum_{i=1}^{n}(1-x_i)}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\theta^{a-1}(1-\theta)^{b-1} $$
$$= \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\theta^{(\sum_{i=1}^{n}x_i)+a-1}(1-\theta)^{(\sum_{i=1}^{n}(1-x_i))+b-1}$$
Thus,
$$P(\theta|D) \propto \theta^{(\sum_{i=1}^{n}x_i)+a-1}(1-\theta)^{(\sum_{i=1}^{n}(1-x_i))+b-1}$$

This optimazing problem is solve by $\log$.

$$\log P(\theta|D) \propto \{(\sum_{i=1}^{n}x_i)+a-1\}\log \theta + \{(\sum_{i=1}^{n}(1-x_i))+b-1\}\log (1-\theta) \nonumber$$
Because
$$ \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}(1-x_i) = n $$, optimize value is
$$ \theta_{MAP} = \frac{(\sum_{i=!}^{n}x_i)+a-1}{n+a+b-2} $$


Reference












Labels:

コメント

コメントを投稿

このブログの人気の投稿

MAP推定

Introduction English ver 今日はMAP推定（事後確率最大化法）について書きました。MAP推定ではベイズの定理を使います。データが少ないとき、最尤推定の結果をあまり信用できない話は、最尤推定の時に書きました。この時、MAP推定では自分の事前に持っている情報を取り入れることができます。 概要 ベイズの定理 MAP推定 共役分布 MAP推定の例 ベイズの定理 ベイズの定理は $$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$ です。 ただし、 $P(A|B)$ はBが起こった時のAの起こる確率です。 詳しくは  http://takutori.blogspot.com/2018/04/bayes-theorem.html  を見てください。 Map推定 MAP推定ではベイズの定理を使います。MAP推定は事後確率が最大になるようなパラメータを選びます。 いま、$x_1,x_2,...,x_n$というデータを$\theta$というパラメータを持つ分布から得られたとする。この時$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n)$を求めたい。 ここで、ベイズの定理を使う。 $$P(\theta|x_1,x_2,...,x_n) = \frac{P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ ここで、$P(\theta)$は$\theta$の事前分布である。 $x_1,x_2,...,x_n$はそれぞれ独立であるので、 $$P(x_1,x_2,...,x_n | \theta ) = \Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta)$$. よって、マップ推定は $$\theta^{\star} = \arg \max_{\theta} \frac{\Pi_{i=1}^n P(x_i|\theta) P(\theta)}{P(x_1,x_2,...,x_n)}$$ となる。 $P(x_1,x_2,...,x_n)$という値は$\theta$には依存しない。よって、定数であり、最適化に定数は関係ないので、排除すると、MAP推定は次のようになる。 $$\th...
コメントを投稿
続きを読む

カーネルK-means 理論編

Introduction English ver 今日は、カーネルK-meansの理論について書きます。カーネルK-meansは通常のK-meansの欠点を補うことができます。通常のK-meansの欠点とカーネルK-meansの強みも説明します。もし、まだ御覧になられていなければ、通常の K-means 理論編 の記事を見ていただけるとよいのではないかと思います。 カーネルK-meansの実装編 も併せてご覧ください。 概要 K-meansの弱点 カーネルトリック カーネルK-means アルゴリズム K-meansの弱点 例えば、次のようなデータを用意します。 このデータはK-meansによってうまく分類することはできません。なぜなら通常のK-meansでは、データとプロトタイプのユークリッド距離に依存しているからです。そのため、このような円状に分布しているデータはうまく分類することができません。 プロトタイプとはそれぞれのクラスにあり、そのクラスを代表するようなもののことです。K-meansでは各クラスの平均ベクトルとなります。それゆえ、以下のような分類になってしまいます。 このようなデータではK-meansはうまくいきません。 K-meansで分類できるデータセットは次のように各クラスで固まっている必要があります。 カーネルK-meansはK-meansの弱点を補います。 カーネルトリック 初めに、カーネルトリックを説明します。 線形分離できないようなデータ$X$を例えば次のように線形分離できるように$\phi(x)$に送る写像$\phi$を考えます。 カーネルは次のように定義されます。 $$K(x,y) = \phi(x)^T \phi(y)$$ $\phi$を具体的に計算することは難しいですが、$K(x,y)$を計算することなら簡単です。 この手法をカーネルトリックと呼ばれます。 カーネルK means K-meansの目的関数を復習しておきます。 $$J = \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} r_{nk} ||x_n-\mu_k||^2$$ ここで、 プロトタイプは$\mu_i ~\forall k \in K$としま...
コメントを投稿
続きを読む